Introducción a la composición de funciones

composición de funciones

Dadas dos funciones, podemos combinarlas de tal manera que las salidas de una función se conviertan en las entradas de otra. Esta acción define una función compuesta. ¡Veamos qué significa esto!
Aprende por qué componemos dos funciones, con un ejemplo de una granja.

Cam es un agricultor. Cada año siembra semillas de maíz. La siguiente función indica la cantidad de maíz, $C$C in kilogramos (kg), que él espera cosechar en $a$a acres de terreno.

$C(a) = 7500a - 1500$C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500

Por ejemplo, si Cam siembra dos acres, él espera cosechar $C( 2) = 7500( 2)-1500= {13{,}{500}}$C, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 7500, left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, 1500, equals, 13, comma, 500 $\text{kg}$k, g de maíz.

Pero a Cam le interesa más saber cuánto dinero ganará al vender su maíz. Así que utiliza la siguiente función para predecir la cantidad de dinero, $M$M en pesos, que él obtendrá al vender $c$c kilogramos de maíz.

$M(c) = 0{,}9c - 50$

Entonces, si Cam cosecha ${13{,}500}\text{ kg}$13, comma, 500, space, k, g de maíz, él espera obtener $M({13{,}500})=0{,}9({13{,}500})-50=\${12{,}100}$M, left parenthesis, 13, comma, 500, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, left parenthesis, 13, comma, 500, right parenthesis, minus, 50, equals, dollar sign, 12, comma, 100.

Observa que Cam utiliza dos funciones separadas para obtener ganancias esperadas a partir de acres cosechados. La primera función, $C$C, convierte de acres a cantidad de maíz, mientras que la segunda, $M$M, convierte de maíz a cantidad de dinero.

$C$${13{,}500}\text{ kg}$$M$$\${12{,}100}$${2}\text{ acres}$

¿No sería genial si Cam pudiera escribir una función que convierta de acres sembrados directamente a ganancias esperadas?

$C$$13{,}500\text{ kg}$$M$$\$12{,}100$$2\text{ acres}$

Crear una nueva función

De hecho, ¡sí podemos encontrar la función que convierte de acres sembrados directamente a ganancias esperadas! Para encontrar esta función, pensemos en la pregunta más general: ¿cuánto dinero puede Cam esperar ganar si siembra maíz en $a$a acres de terreno?

Pues bien, si Cam siembra maíz en $a$a acres, él espera cosechar $C(a)$C, left parenthesis, a, right parenthesis kilogramos de maíz. Y si cosecha $C(a)$C, left parenthesis, a, right parenthesis kilogramos de maíz. él espera ganar $M(C(a))$M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis pesos.

$C$$C(a)\text{ kg}$$M$$\$M(C(a))$$a\text{ acres}$

Entonces, para encontrar la regla general que convierta $a$a acres directamente a ganancias esperadas, podemos determinar la expresión $M(C(a))$M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis.

¿Pero cómo hacer esto? Observemos que en la expresión $M(\greenD{C(a)})$M, left parenthesis, start color greenD, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color greenD, right parenthesis, el valor de entrada de la función $M$M es $\greenD{C(a)}$start color greenD, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color greenD. Así que para encontrar esta expresión, podemos sustituir $\greenD{C(a)}$start color greenD, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color greenD como valor de entrada $\goldD{c}$start color goldD, c, end color goldD en la función $M$M.

$\begin{aligned} M(\goldD c)&=0{,}9\goldD c-50\\\\ M({\greenD{C(a)}})&=0{,}9(\greenD{C(a)})-50\\ \\ &= 0{,}9(\greenD{7500a-1500})-50~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Pues }}}\small{\gray{C(a)=7500a-1500} }\\\\ &= 6750a-1350-50\\\\ &=6750a-1400 \end{aligned}$

De esta manera la función $M(C(a))=6750a-1400$M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400 convierte acres sembrados directamente a ganancias esperadas. Usemos esta nueva función para predecir la cantidad de dinero que Cam obtendría al sembrar maíz en dos acres.

$M(C(2))=6750(2)-1400=\$12{,}100$M, left parenthesis, C, left parenthesis, 2, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, 1400, equals, dollar sign, 12, comma, 100

Cam puede esperar obtener $\$12100$dollar sign, 12100 al sembrar maíz en dos acres de terreno, ¡lo que es consistente con el primer resultado!

Definir funciones compuestas

Hemos encontrado lo que se conoce como una función compuesta. En lugar de sustituir acres sembrados en la función del maíz, y después la cantidad de maíz cosechado en la función del dinero, hemos encontrado una función que convierte acres sembrados directamente a ganancias esperadas.

Hicimos esto al sustituir $C(a)$C, left parenthesis, a, right parenthesis en la función $M$M, o sea al encontrar $M(C(a))$M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. Llamemos $M\circ C$M, circle, C a esta nueva función, que se lee como "$M$M compuesta con $C$C".

Ahora sabemos que $(M\circ C)(a)=M(C(a))$left parenthesis, M, circle, C, right parenthesis, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. Esta es, de hecho, ¡la definición formal de composición de funciones!

Visualizar los dos métodos

He aquí una ayuda visual para interpretar la definición anterior.

$C$$13{,}500\text{ kg}$$M$$\$12{,}100$$2\text{ acres}$$M\circ C$

Al utilizar las funciones $C$C y $M$M, la función $C$C (la del maíz) convierte dos a $13{,}500$13, comma, 500. Después la función $M$M (la del dinero) convierte 13,500 a $\$$dollar sign12,100.

Mediante la función compuesta, vemos que $M\circ C$M, circle, C convierte $2$2 directamente a $\$$dollar sign12,100.

¡Ambas son equivalentes!